之前一直研究串联谐振电路，从现在开始研究并联谐振，类似阻抗与导纳互为对偶关系一样，串联谐振与并联谐振在很多方面也成对偶关系，因此如果对串联谐振电路的特性有了全面深刻的掌握，接下来分析研究并联谐振电路会轻松许多。

• RLC并联谐振电路

图1   RLC并联谐振电路

       根据RLC谐振电路（四）——阻抗与导纳的分析，图1所示电路中电阻R的电导G=1/R，电感上的感纳BL=-j*1/ωL，电容上的容纳Bc=jωC，所以电路的导纳Y=G+jB=1/R+j(ωC-1/ωL)=|Y|ㄥφY，当ωC=1/ωL，也就是容纳的大小与感纳的大小相等时，因为容纳与感纳的相位相差180°——呈反相关系，所以电路的电纳B=0，此时电路中的导纳Y最小。因为阻抗Z=1/Y，所以此时电路的阻抗最大，并且呈现纯阻性，即：Z0=R，这一点与串联谐振时电阻阻抗最小成对偶关系，虽然数值都是Z0=R。由ωC=1/ωL解出ω0=1/√(LC)（公式1），ω0为电路的谐振频率，这与串联谐振电路谐振频率的计算公式相同。

图2  发生谐振时的RLC并联电路

       由以上分析可知，RLC并联电路进入谐振状态时，电路中的电感与电容元件似乎都不存在了，好像只存在电阻（图2）。其原因如同RLC谐振电路（五）——串联谐振1：基本概念分析的那样：电感与电容都是储能元件，当电路发生谐振时，能量在电感与电容之间相互转移，电流源Is提供的能量只消耗在电阻R上。

       根据品质因数的定义：谐振时储能器件（电感、电容）上储存的功率（无功功率）与电阻上消耗掉的有功功率之比，可以得出并联谐振电路品质因数Q=电感或电容上的无功功率Qp/电阻R上消耗的有功功率P。因为Qp=U²/ω0L=U²*ω0C=U/√(L/C)，P=U²/R，所以Q=Qp/P=R/√(L/C)（公式2）。这与RLC谐振电路（五）——串联谐振1：基本概念公式4给出的串联谐振电路品质因数公式恰好成倒数关系。同样，我们把谐振时的感抗（或容抗）称为特性阻抗，用希腊字母ρ表示，即：ρ=ω0L=1/(ω0C)=√(L/C)，所以并联电路品质因数Q=R/ρ。

       电感上的电流IL=Is*Z/jωL，发生谐振时，Z=Z0=R，ω=ω0=1/√(LC)，所以IL0=Is*R/j[L/√(LC)]=-jIs*R/√(L/C)，将公式2代入，得到：IL0=-jQIs，IL0=QIs。 

       电容上的电流IC=Is*Z*jωC，发生谐振时，Z=Z0=R，ω=ω0=1/√(LC)，所以IC0=Is*R*jC/√(LC)=jIs*R/√(L/C)，将公式2代入，得到：IC0=jQIs，IC0=QIs。

       由此可见，RLC并联电路发生谐振时，电感与电容上的电流是输入电流的Q倍，当品质因数Q较高时，IL0与IC0将变得很大，这有可能会造成电路元件损坏，需要特别注意。RLC并联谐振也称为电流谐振。

谐振曲线

       在串联谐振的文章里，我们是围绕着谐振曲线的测量与分析展开的，因为谐振曲线能够揭示电路的很多特性。接下来我们依然通过谐振曲线研究并联谐振电路。

       根据RLC谐振电路（五）——串联谐振1：基本概念公式3a可知：RLC串联电路的谐振曲线实质是谐振时电路的阻抗（Z0=R）与各个频率下电路的阻抗（Z）的比值，即：R/Z~f的幅频与相频曲线就是谐振曲线。

       按照这个思路，我们测量图1所示电路各个频率下的电压U=Is*Z，谐振时的电压U0=Is*R的比值，也就是RLC并联电路的谐振曲线（Z/R~f）。图1电路中的电流型信号源不常见，我们把它改为电压型信号源更方便做实验（图3）。

图3 电压源的RLC并联电路

       图3电路中IR=Us/R，Is=Us/Z，所以IR/Is=Z/R，也就是测量各个频率下流过电阻R的电流值（IR）与电路总的电流值（Is），就能得到并联电路的谐振曲线（Z/R~f）中的幅频曲线。

谐振曲线实验测量

       参考RLC谐振电路（六）——串联谐振2：谐振曲线实验测量中串联谐振曲线测量的实验步骤，按照图3在CALK-1000电路分析实验套件中的HA-MB03A电路分析实验板上搭建电路，使用HPI-1000多功能口袋仪器的AO1信号源产生一个6Vp-p，频率0.5~9.5kHz的正弦波作为输入信号Us。用实验套件中标配的UT120C万用表交流毫安（mA）档测量流经电阻R的电流IR与电路的总电流Is；然后改变输入信号的频率，再记录下一组电流值。最后将电流值Is、IR与对应的输入信号频率f记录在一个Excel表格中（表1）。为了提高测量精度，测量过程有以下几点需要注意：

• 要用套件中配置的航空导线连接电路，并且导线要用剥线钳剪切到合适的长度，不可过长；

• 为了读数准确，一定要将万用表表笔固定在HA-MB03A实验板上专用的表笔座上，然后用套件中配备的红黑杜邦线插入器件孔，待读数稳定后再记录（如图4所示）；

• 为了提高测量效率，可以使用两块万用表分别测量总电流Is与电阻上的电流IR，但要注意一是两块表的系统读数误差一致；二是其中一块万用表已经占用HA-MB03A实验板上专用的表笔座了，另外一块表应该用短接紧密的缠绕在表笔头上后串接在电路中，这样电流值读取才准确。

图4   将万用表表笔插入实验板表笔座

表1   测量数据

       需要注意的是表1中记录的电流值并不是电路中真实的交流电流有效值，这是因为手持式万用表交流电压测量带宽比较窄（比如套件中配套的UT120C万用表的交流电流测量频率范围是40~400Hz），随着信号频率上升，测量读数有所衰减，但这并不影响我们在同一频率下得到的IR/Is电流比值的正确性。另外，为了准确找出谐振频率，在理论谐振频率（5kHz）附近，将输入信号频率增长步长由500Hz减小到100Hz，增加了采样点。

       表1中IR/Is的比值与频率f的关系做成曲线就是RLC并联谐振电路的谐振曲线（图5）。

图5   谐振曲线

       从图5可以看出：电路中电阻值较大的谐振曲线（R=1kΩ，蓝色）比电阻值较小的谐振曲线（R=300Ω，红色）要陡峭，这点与串联谐振曲线恰好相反。

       根据RLC谐振电路（五）——串联谐振1：基本概念可知，串联谐振曲线I/I0=R/Z=R/[R+j(ωL-1/ωC)]=1/[1+j(ωL-1/ωC)/R]（公式3）。 并联谐振曲线IR/IS=Z/R，其中Z=1/(1/R+1/jωL+jωC)=R/[1+j(ωC-1/ωL)R]，所以并联谐振曲线IR/IS=Z/R=1/[1+j(ωC-1/ωL)R]（公式4）。对比公式3与公式4，我们发现如果将公式3中的R、jωL、1/jωC分别换成其对偶量1/R、1/jωL、jωC，则公式3就变为了公式4，这说明串联谐振曲线与并联谐振曲线具有对偶关系。

       根据RLC谐振电路（九）——串联谐振5：串联谐振的通频带中公式2，公式3可以变形为I/I0=1/√[1+Q²(ω/ω0-ω0/ω)²]，其中Q=√(L/C)/R，是串联谐振电路品质因数。公式4可以变形为IR/Is=1/√[1+Q²(ω/ω0-ω0/ω)²]，其中Q=R/√(L/C)，是并联谐振电路品质因数。由此可见，串联谐振曲线（R/Z）与并联谐振曲线（Z/R）最终的形式都是一样的，只不过其中的品质因数定义不同。这就解释了图4所示的并联谐振曲线与RLC谐振电路（六）——串联谐振2：谐振曲线实验测量中图3所示的串联谐振曲线在形状上非常相似。这里要说明的是并联谐振曲线也可以采用R/Z的形式，但那样就是一条下凹的曲线，为了图形上的一致，一般都采用Z/R的形式。

       有些细心的读者可能发现图4中两条并联谐振曲线的谐振频率f0都略高于之前计算测量得到的4.8kHz（参考RLC谐振电路（七）——串联谐振3：谐振曲线分析），虽然电路中电感与电容用的是与串联谐振电路实验中同一元件，但是谐振频率发生了些许变化，这是为什么呢？

       这主要是测量仪器的输入特性造成的测量误差，在实验中我们使用的UT120C万用表的输入端分布电容大约是100pF左右，这个电容相当于谐振电路的寄生电容，会对电路的谐振频率产生影响。为了验证这一点，可以用示波器代替UT120C万用表进行测量，因为标准示波器的输入电容是24pF，对于电路的干扰更小。此时图3电路要串入两个采样电阻Rs，将电流信号转换为电压信号（图6）。

图6   基于差分示波器的测量电路

       图6测量电路中的示波器必须采用差分示波器或是普通单端示波器加装差分探头。这样我们能够测量得到输入电流Is对应的电压曲线（图7、图8中黄色波形）与电阻R上电流IR对应的电压曲线（图7、图8中绿色波形）。

图7  R=300Ω时Is（黄色）与IR（波形）

图8  R=1kΩ时Is（黄色）与IR（波形）

       从图7、图8可以看出，电阻R取300Ω或1kΩ时，电路都在4.8kHz时IR信号与Is信号的相位差为零，这说明图3所示的并联谐振电路准确的谐振频率也是4.8kHz。

       下一期我们将对上实验测量获得的并联谐振曲线仔细分析，敬请期待。

参考资料：

[1] 高继森等，《电路分析基础》，清华大学出版社

[2] 于歆杰等，《电路原理》，清华大学出版社